由于存在明确定义的目标速度场，理论上最优解与网络的具体结构无关■■◆，这种属性有助于训练过程更加稳健和稳定。

　　这种轨迹的弯曲不仅仅是因为神经网络的近似误差，更是源于真实的边缘速度场本身◆★★★■。

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　　换句话说，这种方法非常适合一步或少步数的生成任务★■，因为它在推理阶段不需要显式计算时间积分——这是传统建模瞬时速度方法所必须的步骤。

　　值得注意的是■◆◆★，即便条件流被设计为「直线流动」（即所谓「校正流」），最终得到的边缘速度场（公式(1)）往往仍会诱导出弯曲的轨迹（见图2的示意）■★◆★。

　　不过，在实践中■■◆★■，直接使用公式(3)定义的平均速度作为训练网络的「真值」行不通◆★★◆，因为这要求在训练时就对瞬时速度执行积分，计算成本高且不可行。

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　　我们再次强调，vcfg和ucfg都是理论上的真实速度场，与神经网络参数无关★★◆◆★◆。

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　　当对这些弯曲轨迹使用粗粒度的时间离散化时◆◆◆★★■，数值ODE解法往往会产生较大的误差★■，从而导致生成结果不准确。

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　　在公式(10)中的v(z_t，t)是Flow Matching中的边缘速度（见图2右），但它难以直接计算。

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　　在ImageNet 256×256数据集上，MeanFlow在一次函数评估（1-NFE）下达到了3■■◆.43的FID分数，性能相比此前同类最佳方法有50%到70%的相对提升（见图1左）。

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　　因此，在采样阶段■★★◆■，无需再进行线性组合计算，只需直接网络调用即可完成一步采样（见算法2）。

　　平均速度被定义为两个时间点t和r之间的位移（通过对瞬时速度积分获得），再除以时间间隔◆■。

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　　表2：ImageNet-256×256上的类别条件生成实验■■■◆，不同模型的参数、FID得分等统计数据

　　这个速度被称为条件速度（conditional velocity）★◆■■。参见图2左侧部分。

　　平均速度场u(z_t，r，t)同时依赖于起始时间r和终止时间t◆■◆■★，如图3所示★★■◆。

　　使用MeanFlow模型进行采样非常简单：只需将时间积分项替换为平均速度即可，伪代码详见算法2■◆。

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　　需要注意的是，其他所有对比方法均使用了EDM风格的预处理器（pre-conditioner），而新方法没有使用任何预处理器★◆。

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　　其中iCT、Shortcut和MF都是一次函数评估（1-NFE），而IMM则使用了两次函数评估（2-NFE）的引导策略。

　　为此，研究者设计了新的损失函数，引导网络去满足平均速度与瞬时速度之间的内在关系■■★★★，无需引入额外的启发式方法。

　　此外◆■★■，新方法还能自然地将「无分类器引导」（Classifier-Free Guidance◆★■★，CFG）融入目标速度场，在采样阶段使用引导时不会带来额外的计算开销■■◆。

　　图2：Flow Matching中的速度场示意图★■。左图★★★◆■：条件流（ConditionalFlows）。同一个z_t可能由不同的(x,ϵ)组合生成，因此会对应不同的条件速度v_t。右图■■■★◆■：边缘流（Marginal Flows）。通过对所有可能的条件速度进行边缘化（求平均）得到边缘速度场。这个边缘速度场被作为训练神经网络时的「真实目标速度场」

　　平均速度是指「位移/时间间隔」的比值，本质上是对瞬时速度在时间轴上的积分。

　　到目前为止，上述公式还没有涉及任何网络参数。现在引入可学习的模型u_θ★■◆■★★，并希望它满足MeanFlow恒等式（公式(6)）。

　　要计算公式(6)右侧第二项全导数（total derivative），它可以用偏导数展开如下★■：

　　图例说明：灰点表示从先验分布中采样得到的样本，红点表示来自真实数据分布的样本◆■★。

　　在MeanFlow恒等式中◆■★★◆■，公式右侧给出了可以作为训练目标的形式，可以利用它构建损失函数，来训练神经网络预测u(z_t★■★◆■，r，t)。

　　形式上，给定数据x∼pdata(x)和先验噪声ϵ∼pprior(ϵ)，可以构造一条流动路径，

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　　在图1和表2（左侧）中，研究者将MeanFlow与现有的一步扩散/流模型进行了比较◆■★■★★。

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　　其中■■，类别条件速度（即对给定类别c条件下的边缘速度）、无条件边缘速度◆★◆■，定义如下：

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　　需要说明的是★★■■，即使在优化中进行了这些近似，只要u_θ最终能够使损失为零◆◆■，它就一定满足MeanFlow恒等式■◆★★，从而也满足最初的平均速度定义■◆◆★★。

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　　但由于式(1)中的边缘化过程难以直接计算，因此Flow Matching提出使用条件Flow Matching损失来代替：

　　如果仅比较1-NFE（一次函数评估）的生成结果，MeanFlow相比此前的最优方法Shortcut（FID 10★◆★.60），相对提升接近70%★★。

　　值得一提的是，作者共有5位★★■★■■，其中4位是华人◆◆，均来自CMU和MIT两所顶校。

　　在CIFAR-10数据集（32×32）上，研究人员进行了无条件生成实验，结果列在表3中。

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　　需要说明的是■★，公式(6)与之前的积分公式(4)是等价的（详见原文附录B★◆◆.3）■★★。

　　平均流（Mean Flows）的核心思想是：引入一个表示平均速度的新场（velocity field）★■，而传统Flow Matching所建模的是瞬时速度★■。

　　虽然公式中出现了对u的偏导数◆★◆■，但实际训练中使用的是网络输出uθ的梯度（自动微分实现）。

　　与传统做法在采样阶段直接应用CFG不同，研究者将CFG视为底层「真实速度场」的一部分属性。

　　使用了stop-gradient操作（记为sg）：这是为了避免「二阶反向传播」，从而减小优化的计算负担。

　　从概念上讲，就像在Flow Matching中，瞬时速度v是训练的「真实目标场」，在MeanFlow中★◆■，平均速度u则扮演着类似的角色，是学习所依据的「真实速度场」◆★★◆■★。

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　　他热衷于研究动态系统，致力于识别、理解并开发能够自组织形成复杂系统的动态机制。

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　　仅基于这一定义，研究者推导出了平均速度与瞬时速度之间清晰且内在的数学关系，这为神经网络训练提供了理论依据★◆◆■。

　　训练信号来自于瞬时速度v，不需要积分操作，因此相比平均速度定义式(3)更容易实现。

　　这样做的优势显著：一旦平均速度被准确建模，就可以仅通过一次前向计算来近似整个流动路径。

　　因此★■◆■★■，借鉴Flow Matching已有的做法，使用条件速度（见图2左）来替代：

　　一旦得到了边缘速度场v(z_t,t)★■■，就可以通过求解下面的常微分方程（ODE）来生成样本★■：

　　其中一作耿正阳，是CMU的博士生，在MIT访问时完成了这次研究的部分工作。

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　　接着，学习由参数θ表示的神经网络v_θ，来拟合这个边缘速度场◆★◆★◆◆，其损失函数为：

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　　全新的生成模型MeanFlow，最大亮点在于它彻底跳脱了传统训练范式——无须预训练、蒸馏或课程学习★◆★■★■，仅通过一次函数评估（1-NFE）即可完成生成◆★◆■★■。

　　这表明◆■★◆■★，MeanFlow在很大程度上缩小了一步与多步扩散/流模型之间的性能差距◆■◆★■■。

　　研究人员的关键见解是■★★：可以对平均速度的定义公式进行数学变形，从而构造一个更易于训练的优化目标■★，即使在只能访问瞬时速度的前提下依然可行◆◆■★■◆。

　　在2-NFE（两次函数评估）设定下，新方法取得了2.20的FID分数（见表2左下角）。

　　接着，对这个等式的两边关于t求导（把r当作常数），然后运用函数积的求导法则和微积分基本定理◆■★◆◆，得到：

　　它们都采用了XL/2级别的骨干网络，且NFE达到250×2（见表2右侧）。

　　最终，新在保留CFG效果的同时，依然维持了理想的单步采样性能（1-NFE），兼顾了效率与质量◆■★★◆。

　　stop-gradient操作用于阻断目标对网络参数的反向传播，避免二阶梯度计算。

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　　Flow Matching本质上是在对所有可能情况的期望进行建模■★◆◆■，这种平均后的速度称为边缘速度（marginal velocity）（见图2右侧）：